Quando falamos em processos estocásticos, ou seja, sistemas que dependem de eventos aleatórios, muitos imaginam tratar-se de algo imperfeito e pouco preciso. Contudo, na estatística, trabalhar com métodos que dependam de tal aleatoriedade é mais comum do que parece e constantemente ajudam na obtenção de resultados importantes. O Método (ou Simulação) de Monte Carlo é uma dessas ferramentas.
O que é?
Inventado por John von Neumann e Stanislaw Ulam na Segunda Guerra Mundial, tal método recebeu o nome Monte Carlo em referência à uma pequena cidade de Monaco, conhecida pelos seus cassinos e jogos de azar que dependem de eventos aleatórios e probabilísticos. Desde sua criação, ele é amplamente adotado em várias áreas de estudo, como finanças, engenharia, estatística e matemática aplicada, computação, entre outros; podendo ser utilizado em técnicas de IA (inteligência artificial), precificação, ações, logísticas etc.
gráfico demonstrativo
Como funciona?
Basicamente, numa Simulação de Monte Carlo, a intenção é encontrar algum valor (variável dependente) por meio de múltiplos eventos aleatórios (variáveis independentes) em condições pré-estabelecidas. A tendência é melhorar a precisão do resultado conforme o número de eventos estocásticos utilizados. Após muitas simulações, pode-se fazer uma comparação entre elas e observar uma convergência, ou quem sabe uma divergência, entre os valores das simulações. Isso mostra o que acontece com um sistema quando se tende a utilizar infinitas combinações entre suas variáveis dependentes.
Exemplos
Frequentemente o ser humano tem dificuldade em abstrair algo apenas por sua descrição. Por isso, muitas vezes a utilização de analogias e exemplos são ótimos para ajudar na visualização de algo. Para o Método de Monte Carlo não é diferente. Aqui, trazemos 2 utilizações dele que ajudarão a entendê-lo melhor.
Descobrindo se um dado padrão (6 lados) está viciado ou não
dados lançados ao acaso
Para respondermos a essa pergunta, devemos jogar o dado quantas vezes julgarmos necessário e ir registrando a frequência com que cada número cai. Depois disso, basta calcularmos a razão de cada número das 6 faces com relação ao total de jogadas.
Ou seja: Frequência 1 = Número de vezes que caiu lado 1 / Número total de jogadas
(…)
Frequência 6 = Número de vezes que caiu lado 6 /Número total de jogadas
Com isso, caso cheguemos a um resultado do tipo:
Frequência 1 ≈ Frequencia 2 ≈ Frequencia 3 … ≈ Frequencia 6
Ou seja, se todas as frequências forem aproximadamente iguais, poderemos concluir que o dado não está viciado. Por outro lado, caso após várias jogadas alguma frequência comece a convergir para um número maior que as demais, podemos dizer que o dado está viciado.
Calculando π
Embora não seja o método mais eficiente para calcular o valor de π (um número infinito e impossível de escrever como uma fração, mas que é utilizado principalmente para calcular o comprimento de uma circunferência ou a área de um círculo), usar tal método nesse caso é bem didático e de fácil visualização. Consideremos um quadrado de lado 1 e um círculo de diâmetro 1 inscrito nele. Em um programa de computador, podemos gerar vários pontos aleatórios dentro do quadrado com o círculo inscrito. Fazendo isso, obtemos:
Experimento computadorizado
Percebe-se que, conforme aumentamos o número de pontos, mais preenchemos a área do quadrado e do círculo. Sabemos que a área de um quadrado e de um círculo são dados, respectivamente, por:
Aq = l²
Ac = πD² / 4
Onde l é o lado do quadrado e D é o diâmetro do círculo.
Dito isso, como
l = D = 1
podemos dizer que:
N° de pontos no círculo / Nº de Pontos totais = Ac / Aq = π / 4
∴ π = 4 × N° de pontos no círculo / Nº de Pontos totais
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Autor: Caio Assumpção